Operatii cu radicali

In aceasta lectie vom folosi proprietatile din lectia trecuta pentru a rezolva cateva exercitii.

Atunci cand avem exercitii ce implica radicali, ceea ce trebuie sa facem este sa simplificam expresiile cat mai mult.

Asta inseamna sa scoatem sau sa introducem alti factori de sub radicali.

De exemplu:

$\sqrt[]{24} - \sqrt[]{6} =$ $root()(24) - root()(6) =$ $\sqrt[]{4 \cdot 6} - \sqrt[]{6} =$ $root()(4*6) - root()(6) =$ $2 \sqrt[]{6} - \sqrt[]{6} =$ $2root()(6) - root()(6) =$ $(2 - 1) \sqrt[]{6} = \sqrt[]{6}$ $(2-1)root()(6) = root()(6)$
In acest exemplu am vrut sa ajungem la un factor comun, in acest caz $\sqrt[]{6}$ $root()(6)$ , pentru a simplifica expresia initiala. Am observat ca $24$ $24$ este alcatuit din $4$ $4$ si din $6$ $6$ si stim ca $4$ $4$ va iesi de sub radical.
$\sqrt[]{12} + \sqrt[]{18} - \sqrt[]{27} =$ $root()(12) + root()(18) - root()(27) =$ $\sqrt[]{4 \cdot 3} + \sqrt[]{9 \cdot 2} - \sqrt[]{9 \cdot 3} =$ $root()(4*3) + root()(9*2) - root()(9*3) =$ $2 \sqrt[]{3} + 3 \sqrt[]{2} - 3 \sqrt[]{3} =$ $2root()(3) + 3root()(2) - 3root()(3) =$
$= 3 \sqrt[]{2} - \sqrt[]{3}$ $= 3root()(2) - root()(3)$

In acest caz nu mai avem acelasi numar sub radical pentru toti trei radicalii, dar e suficient pentru a scoate un factor comun doar pentru doi din ei si in final expresia sa ajunga mai simpla.
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} =$ $root(3)(4) * root(3)(2) =$ $\sqrt[3]{2^{2}} \cdot \sqrt[3]{2} =$ $root(3)(2^2)*root(3)(2) =$ $\sqrt[3]{2^{3}} = 2$ $root(3)(2^3) = 2$

Pana acum am folosit radicali cu acelas ordin. Dar daca intr-un exercitiu acesta difera de la un radical la altul in primul rand ar trebui sa ii aducem pe toti la acelasi ordin.

$\sqrt[]{2} \cdot \sqrt[3]{3} =$ $root()(2)*root(3)(3) =$ $\sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{3^{2}} =$ $root(2*3)(2^3)*root(3*2)(3^2) =$ $\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} =$ $root(6)(8)*root(6)(9) =$ $\sqrt[6]{72} =$ $root(6)(72) =$
In acest exemplu, c.m.m.m.c. este $6$ $6$ , de aceea incercam sa aducem ambii radicali la acelasi ordin.
$\sqrt[]{8} \cdot \sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[]{18} = \sqrt[]{2^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{2^{2} \cdot 3} \cdot \sqrt[]{3^{2} \cdot 2} = 2 \sqrt[]{2} \cdot \sqrt[3]{12} \cdot 3 \sqrt[]{2} =$ $root()(8) * root(3)(12) * root()(18) = root()(2^2*2)*root(3)(2^2*3)*root()(3^2*2) = 2root()(2)*root(3)(12)*3root()(2) =$

$2 \sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{12^{2}} \cdot 3 \sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} =$ $2root(2*3)(2^3)*root(3*2)(12^2)*3root(2*3)(2^3) =$ $6 \cdot \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[8]{144} \cdot \sqrt[6]{8} =$ $6*root(6)(8)*root(8)(144)*root(6)(8) =$ $6 \sqrt[6]{8 \cdot 8 \cdot 144} = 6 \sqrt[6]{9216}$ $6root(6)(8*8*144) = 6root(6)(9216)$

Aici am incerca sa scoatem cate un numar de sub fiecare radical, dar am vazut ca $12$ $12$ nu este alcatuit din nici un numar ridicat la puterea $3$ $3$ , asa ca l-am lasat asa.

La fel ca in exemplul trecut c.m.m.m.c. dintre ordine este tot $6$ $6$ , asa ca am ridicat continutul la o putere astfel incat ordinul sa ajunga la $6$ $6$ .