Proprietatile logaritmilor

Majoritatea proprietatilor logaritmilor reies din cele pe care le avem pentru puteri.

1. Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor

$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ $log_a(x*y) = log_a x + log_a y$

Demonstratia este relativ usor de urmarit:

Sa spunem ca notam $\log_{a} x = m$ $log_a x = m$ si $\log_{a} y = n$ $log_a y = n$ . Daca scriem acele egalitati drept puteri am avea: $a^{m} = x$ $a^m = x$ si $a^{n} = y$ $a^n = y$ .

Acum daca am inmulti cele doua ar rezulta: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m \cdot n} = x \cdot y$ $a^m*a^n = a^(m*n) = x*y$ .

Si ultima egalitate o putem scrie inpoit in forma logaritmica si ne va rezulta: $\log_{a} (x \cdot y) = m + n$ $log_a (x*y) = m+n$ .

Dar $m$ $m$ si $n$ $n$ pot fi inlocuite cu $\log_{a} x$ $log_a x$ si respectiv $\log_{a} y$ $log_a y$ si ne va rezulta proprietatea de mai sus.

2. Logaritmul catului este egal cu diferenta dintre logaritmi

$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$ $log_a(x/y) = log_a x - log_a y$

Din aceasta rezulta alta proprietate foarte folositoare:

$\log_{a} (\frac{1}{x}) = - \log_{a} x$ $log_a(1/x) = -log_a x$

Este folositoarea cand avem o fractie in logaritm si dorim sa o inversam, sau cand avem un numar $x$ $x$ si vrem sa il scriem drept o fractie $\frac{1}{x}$ $1/x$ .

3. Logaritmul unui numar ridicat la o putere este egal cu produsul dintre putere si logaritm

$\log_{a} x^{m} = m \cdot \log_{a} x$ $log_a x^m = m*log_a x$

Aceasta proprietate este folositoare si in cazul cand avem un radical in logaritm.

De exemplu:

$\log_{2} \sqrt[]{3} = \log_{2} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 3$ $log_2 root()(3) = log_2 3^(1/2) = 1/2* log_2 3$

4. Formula de schimbare a bazei:

$\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$ $log_a x = (log_b x)/(log_b a)$

Pentru a folosi aceasta proprietate, trebuie sa avem: $a, b, x > 0$ $a, b, x > 0$ si $a, b \neq 1$ $a,b != 1$ .

Pentru a retine mai usor aceasta formula ne putem gandi astfel: noua baza va fi $b$ $b$ , asa ca apare pentru ambii logaritmi din dreapta, numarul de sus $x$ $x$ apare in logaritmul de sus ( $\log_{b} x$ $log_b x$ ), iar numarul de jos $a$ $a$ (baza), apare in logaritmul de jos ( $\log_{b} a$ $log_b a$ )

Si din aceasta proprietate rezulta una noua care poate fi folositoare candva:

$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$ $log_a b = 1/log_b a$

Rezulta o metoda simpla de a inversa baza cu numarul logaritmului.

5. Atunci cand avem un logaritm drept exponent, putem avea:

$b^{\log_{a} c} = c^{\log_{a} b}$ $b^(log_a c) = c^(log_a b)$

Aceasta este posibila doar daca: $a, b, c > 0$ $a, b, c > 0$ si $a \neq 1$ $a != 1$ .