Formula termenului general

La fel ca in cazul unei progresii aritmetice, si pentru o progresie geometrica putem afla un termen in functie de cel precendent:

$a_{n} = a_{n - 1} \cdot q$ $a_n = a_(n-1)*q$

Aceasta metoda se numeste recursiva, pentru ca depinde de termenul de dinaintea celui pe care vrem sa-l aflam.

Pentru a afla orice termen intr-o progresie geometrica putem folosi formula:

$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ $a_n = a_1*q^(n-1)$

Asadar trebuie sa stim primul termen, $a_{1}$ $a_1$ si ratia progresiei, $q$ $q$ .

Exercitii

Cateva exemple cu folosirea acestei formule:

Avem progresia geometrica cu $a_{1} = 2$ $a_1 = 2$ si $q = \frac{1}{2}$ $q = 1/2$ . Sa se afle $a_{4}$ $a_4$ .

Pur si simplu inlocuind in formula de mai sus, vom avea:

$a_{4} = a_{1} \cdot q^{n - 1} = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4 - 1} =$ $a_4 = a_1*q^(n-1) = 2*(1/2)^(4-1) =$ $2 \cdot \frac{1}{2^{3}} =$ $2*1/2^3 =$ $\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$ $1/2^2 = 1/4$
Se da progresia geometrica $a_{n} = {2, - 4, 8, - 16, ...}$ $a_n = {2, -4, 8, -16, ...}$ . Cat inseamna $a_{9}$ $a_9$ ?

In acest caz stim $a_{1} = 2$ $a_1 = 2$ , dar nu stim ratia. Din ferificire este usor de dedus, trebuie sa aflam cu ce numar inmultim pentru a trece de la un element la altul.

$a_{2} = a_{1} \cdot q \Rightarrow - 4 = 2 \cdot q$ $a_2 = a_1*q => -4 = 2*q$ rezulta ca ratia noastra este $q = - 2$ $q = -2$

Atunci cand avem o ratie mai mica decat $0$ $0$ vedem ca semnul se schimba constant.

$a_{9} = a_{1} \cdot q^{9 - 1} = 2 \cdot {(- 2)}^{8} = 512$ $a_9 = a_1*q^(9-1) = 2*(-2)^8 = 512$
Se dau doi termeni ai unei progresii geometrice $a_{2} = 6$ $a_2 = 6$ si $a_{5} = \frac{2}{9}$ $a_5 = 2/9$ .

Sa se calculeze $a_{7}$ $a_7$ .

Pentru a putea calcula $a_{7}$ $a_7$ intai trebuie sa aflam primul termen si ratia.

Vedem ca $a_{2} > a_{5}$ $a_2 > a_5$ ceea ce inseamna ca cel mai probabil ratia va fi cuprinsa intre $0$ $0$ si $1$ $1$ .

Pentru a afla ratia va trebui sa cream un sistem cu doua necunoscute folosind formula termenului general pentru cei doi termeni pe care ii stim:

$\begin{cases} a_2 = a_1 \cdot q^1 = 6 \\ a_5 = a_1 \cdot q^4 = \frac{2}{9} \end{cases}$

Pentru a rezolva acest sistem va trebui sa impartim cele doua egalitati intre ele si ne va rezulta:

$\frac{a_{1}}{a_{1}} \cdot \frac{q}{q^{4}} = \frac{6}{\frac{2}{9}} \Rightarrow \frac{1}{q^{3}} = 27 \Rightarrow q^{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow q = \frac{1}{3}$ $a_1/a_1 * q/q^4 = 6/(2/9) => 1/q^3 = 27 => q^3 = 1/27 => q = 1/3$

Acum daca stim ratia, $a_{1}$ $a_1$ este usor de aflat, din

$a_{2} = a_{1} \cdot q \Rightarrow a_{1} \cdot \frac{1}{3} = 6 \Rightarrow a_{1} = 18$ $a_2 = a_1*q => a_1*1/3 = 6 => a_1 = 18$

Iar pentru a calcula $a_{7}$ $a_7$ :

$a_{7} = a_{1} \cdot q^{6} = 18 \cdot {(\frac{1}{3})}^{6} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3^{6}} = \frac{2}{3^{4}} = \frac{2}{81}$ $a_7 = a_1*q^6 = 18*(1/3)^6 = (2*3*3)/3^6 = 2/3^4 = 2/81$